פונקציה רציונלית היא משוואה שלובשת צורה y = N (x)/D (x) כאשר N ו- D הם פולינומים. ניסיון לשרטט גרף מדויק של אחד ביד יכול להיות סקירה מקיפה של רבים מהנושאים החשובים ביותר במתמטיקה בתיכון החל מאלגברה בסיסית ועד חשבון דיפרנציאלי. שקול את הדוגמה הבאה: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
צעדים
שלב 1. מצא את יירוט y
כל שעליך לעשות הוא להגדיר x = 0. הכל חוץ מהמונחים הקבועים נעלמים ומשאירים y = 5/2. ביטוי זה כצמד קואורדינטות, (0, 5/2) הוא נקודה בגרף. גרף נקודה זו.
שלב 2. מצא את האסימפטוטה האופקית
לחלק את המכנה למונה כדי לקבוע את התנהגות y עבור ערכים מוחלטים גדולים של x. בדוגמה זו, החלוקה מראה כי y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). עבור ערכים חיוביים או שליליים גדולים של x, 17/(8 x + 4) מתקרב לאפס, והגרף מקרב את השורה y = (1/2) x - (7/4). בעזרת קו מקווקו או משורטט קלות, גרף קו זה.
- אם מידת המונה קטנה ממידת המכנה, אין חלוקה לעשות, והסימפטוטה היא y = 0.
- אם deg (N) = deg (D), אסימפטוטה היא קו אופקי ביחס של המקדמים המובילים.
- אם deg (N) = deg (D) + 1, אסימפטוטה היא קו שהשיפוע שלו הוא היחס בין המקדמים המובילים.
- אם deg (N)> deg (D) + 1, אז לערכים גדולים של | x |, y עובר במהירות לאינסוף חיובי או שלילי כפולינום ריבועי, מעוקב או גבוה יותר. במקרה זה, מן הסתם לא כדאי לתכנן במדויק את כמות החטיבה.
שלב 3. מצא את האפסים
לפונקציה רציונלית יש אפס כאשר המונה שלה הוא אפס, לכן קבע N (x) = 0. בדוגמה, 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. המבדיל של ריבוע זה הוא ב 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. מכיוון שהאפליה היא שלילית, ל- N (x), וכתוצאה מכך f (x), אין שורשים של ממש. הגרף אף פעם לא חוצה את x -as. אם נמצאו אפסים כלשהם, הוסף נקודות אלה לגרף.
שלב 4. מצא את האסימפטוטות האנכיות
אסימפטוטה אנכית מתרחשת כאשר המכנה הוא אפס. הגדרת 4 x + 2 = 0 נותנת את הקו האנכי x = -1/2. גרף כל אסימפטוטה אנכית בקו בהיר או מקווקו. אם ערך כלשהו של x הופך את N (x) = 0 ו- D (x) = 0, יתכן שיש אסימפטוטה אנכית או לא. זה נדיר, אבל עיין בטיפים כיצד להתמודד עם זה אם זה קורה.
שלב 5. תסתכל על שאר החלוקה בשלב 2
מתי הוא חיובי, שלילי או אפס? בדוגמה, המונה של השאר הוא 17 וזה תמיד חיובי. המכנה, 4 x + 2, חיובי מימין לאסימפטוטה האנכית ושלילי משמאל. המשמעות היא שהגרף מתקרב לאסימפטוטה הלינארית מהאמור לעיל לערכים חיוביים גדולים של x ומלמטה לערכים שליליים גדולים של x. מאחר ש- 17/(8 x + 4) לעולם לא יכול להיות אפס, הגרף הזה לעולם לא חותך את השורה y = (1/2) x - (7/4). אל תוסיף דבר לגרף כרגע, אך שים לב למסקנות אלה להמשך.
שלב 6. מצא את הקיצוניות המקומית
קיצון מקומי עשוי להתרחש בכל פעם N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. בדוגמה, N '(x) = 4 x - 6 ו- D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. הרחבה, שילוב מונחים וחלוקה ב- 4 עלים x 2 + x - 4 = 0. הנוסחה הריבועית מציגה שורשים ליד x = 3/2 ו- x = -5/2. (אלה נבדלים בערך בערך 0.06 מהערכים המדויקים, אך הגרף שלנו לא יהיה מדויק מספיק כדי לדאוג לרמת הפירוט הזו. בחירת קירוב רציונלי הגון הופכת את השלב הבא לקל יותר.)
שלב 7. מצא את y- ערכי כל קיצון מקומי
חבר את ערכי x מהשלב הקודם חזרה לפונקציה הרציונלית המקורית כדי למצוא את ערכי y המתאימים. בדוגמה, f (3/2) = 1/16 ו- f (-5/2) = -65/16. הוסף את הנקודות הללו, (3/2, 1/16) ו- (-5/2, -65/16), לתרשים. מכיוון שהתקרבנו בשלב הקודם, אלה אינן המינימום והמקסימום המדויקים, אך קרוב לוודאי שהם קרובים. (אנו יודעים (3/2, 1/16) קרוב מאוד למינימום המקומי. משלב 3 אנו יודעים כי y הוא תמיד חיובי כאשר x> -1/2 ומצאנו ערך קטן כמו 1/16, כך שלפחות במקרה זה השגיאה כנראה קטנה מעובי הקו.)
שלב 8. חבר את הנקודות והרחיב בצורה חלקה את הגרף מהנקודות המוכרות אל האסימפטוטים שדואגים להתקרב אליהם מהכיוון הנכון
הקפד לא לחצות את x -axis למעט בנקודות שכבר נמצאו בשלב 3. אל תחצה את האסימפטוטה האופקית או הלינארית למעט בנקודות שכבר נמצאו בשלב 5. אל תשתנה משופע כלפי מעלה לשיפוע כלפי מטה למעט ב- הקיצוניות שנמצאה בשלב הקודם.
וידאו - על ידי שימוש בשירות זה, מידע מסוים עשוי להיות משותף עם YouTube
טיפים
- חלק משלבים אלה עשויים לכלול פתרון של פולינום ברמה גבוהה. אם אינך יכול למצוא פתרונות מדויקים באמצעות פקטורטיזציה, נוסחאות או אמצעים אחרים, אז העריך את הפתרונות באמצעות טכניקות מספריות כגון שיטת ניוטון.
- אם תעקוב אחר השלבים לפי הסדר, בדרך כלל אין צורך להשתמש בבדיקות נגזרות שנייה או בשיטות דומות שעלולות להיות מסובכות כדי לקבוע אם הערכים הקריטיים הם מקסימאיים מקומיים, מינימאיים מקומיים או אף אחד מהם. נסה להשתמש במידע מהשלבים הקודמים ומעט היגיון קודם.
- אם אתה מנסה לעשות זאת בשיטות פרה -חשבוניות בלבד, תוכל להחליף את השלבים אודות מציאת הקצנה המקומית על ידי חישוב מספר זוגות נוספים (x, y) בין כל זוג אסימפטוטים. לחלופין, אם לא אכפת לך מדוע זה עובד, אין שום סיבה שתלמיד פרה -חשבוני לא יכול לקחת את הנגזרת של פולינום ולפתור N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
-
במקרים נדירים, למונה ולמכנה יש גורם שאינו קבוע. אם אתה עוקב אחר השלבים, זה יופיע כאפס ואסימפטוטה אנכית באותו מקום. זה בלתי אפשרי ומה שקורה בפועל הוא אחד מהדברים הבאים:
- לאפס ב- N (x) יש ריבוי גבוה יותר מהאפס ב- D (x). הגרף של f (x) מתקרב לאפס בשלב זה, אך אינו מוגדר שם. ציין זאת במעגל פתוח סביב הנקודה.
- לאפס ב- N (x) ולאפס ב- D (x) יש ריבוי שווה. הגרף מתקרב לנקודה שאינה אפסית לערך זה של x, אך אינה מוגדרת שם. שוב ציינו זאת במעגל פתוח.
- לאפס ב- N (x) יש ריבוי נמוך מהאפס ב- D (x). יש כאן אסימפטוטה אנכית.
