פרבולה היא גרף של פונקציה ריבועית והיא עקומה חלקה בצורת "U". פרבולות הן גם סימטריות מה שאומר שניתן לקפל אותן לאורך קו כך שכל הנקודות בצד אחד של קו הקיפול תואמות את הנקודות המתאימות בצד השני של קו הקיפול. קו הקיפול, שנקרא ציר הסימטריה, הוא הקו האנכי העובר דרך הוורקס. כל נקודה על הפרבולה רחוקה מנקודה קבועה (המוקד) וקו ישר קבוע (הדריקטריקס). על מנת לתכנן גרף של פרבולה, עליך למצוא את הקודקוד שלה וכן מספר נקודות משני צדי הקודקוד על מנת לסמן את הנתיב שהנקודות עוברות בו.
צעדים
חלק 1 מתוך 2: גרף פרבולה
שלב 1. להבין את חלקי הפרבולה
ייתכן שתקבל מידע מסוים לפני תחילת הדרך, והכרת המינוח תעזור לך להימנע מכל צעדים מיותרים. להלן חלקי הפרבולה שתצטרכו לדעת:
- הפוקוס. נקודה קבועה בחלק הפנימי של הפרבולה המשמשת להגדרה הפורמלית של העקומה.
- הדריקטריקס. קו קבוע וישר. הפרבולה היא מוקד (סדרת) הנקודות בהן כל נקודה נתונה נמצאת במרחק שווה מהפוקוס והדריקטריקס. (עיין בתרשים למעלה).
- ציר הסימטריה. זהו קו ישר העובר בנקודת המפנה ("הקודקוד") של הפרבולה ונמצא במרחק שווה מהנקודות המתאימות על שתי זרועות הפרבולה.
- הקודקוד. הנקודה בה ציר הסימטריה חוצה את הפרבולה נקראת קודקוד הפרבולה. אם הפרבולה נפתחת כלפי מעלה או ימינה, הקודקוד הוא נקודת מינימום של העקומה. אם הוא נפתח כלפי מטה או שמאלה, הקודקוד הוא נקודה מקסימלית.
שלב 2. דע את משוואת הפרבולה
המשוואה הכללית של פרבולה היא y = ax2+ bx + c. אפשר לכתוב אותו גם בצורה כללית עוד יותר y = a (x - h) ² + k, אך נתמקד כאן בצורה הראשונה של המשוואה.
- אם המקדם a במשוואה הוא חיובי, הפרבולה נפתחת כלפי מעלה (בפרבולה מכוונת אנכית), כמו האות "U", והקודקוד שלה הוא נקודת מינימום. אם a הוא שלילי, הפרבולה נפתחת כלפי מטה ויש לה קודקוד בנקודה המקסימלית שלו. אם אתה מתקשה לזכור זאת, תחשוב על זה כך: משוואה עם ערך חיובי נראית כמו חיוך; משוואה עם ערך שלילי נראית כמו הזעף.
- נניח שיש לך את המשוואה הבאה: y = 2x2 -1. פרבולה זו תהיה מעוצבת כ- "U" מכיוון שהערך a (2) הוא חיובי.
- אם למשוואה יש מונח y בריבוע במקום מונח x בריבוע, הפרבולה תהיה מכוונת אופקית ופתוחה הצידה, ימינה או שמאלה, כמו "C" או "C." לאחור. לדוגמה, הפרבולה y2 = x + 3 נפתח מימין, כמו "C."
שלב 3. מצא את ציר הסימטריה
זכור כי ציר הסימטריה הוא הקו הישר העובר בנקודת המפנה (הקודקוד) של הפרבולה. במקרה של פרבולה אנכית (פתיחה למעלה או למטה), הציר זהה לקואורדינטת x של הקודקוד, שהוא ערך ה- x של הנקודה שבה ציר הסימטריה חוצה את הפרבולה. כדי למצוא את ציר הסימטריה, השתמש בנוסחה הבאה: x = -b/2a.
- בדוגמה שלמעלה (y = 2x² -1), a = 2 ו- b = 0. עכשיו אתה יכול לחשב את ציר הסימטריה על ידי חיבור המספרים: x = -0 / (2) (2) = 0.
- במקרה זה ציר הסימטריה הוא x = 0 (שהוא ציר ה- y של מישור הקואורדינטות).
שלב 4. מצא את הקודקוד
ברגע שאתה יודע את ציר הסימטריה, תוכל לחבר את הערך הזה ל- x כדי לקבל את קואורדינטת y. שני הקואורדינטות הללו יתנו לך את קודקוד הפרבולה. במקרה זה, תחבר 0 ל- 2x2 -1 כדי לקבל את תיאום y. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. הקודקוד הוא (0, -1), והפרבולה חוצה את ציר ה- y ב -1.
הקואורדינטות של הקודקוד ידועות לפעמים בשם (h, k). במקרה זה h הוא 0, ו- k הוא -1. ניתן לכתוב את המשוואה של הפרבולה בצורה y = a (x - h) ² + k. בצורה זו הקודקוד הוא הנקודה (h, k), ואתה לא צריך לעשות שום חשבון בשביל למצוא את הקודקוד מעבר לפרשנות הגרף בצורה נכונה
שלב 5. ערוך טבלה עם ערכים שנבחרו של x
צור טבלה עם ערכים מסוימים של x בעמודה הראשונה. טבלה זו תיתן לך את הקואורדינטות הדרושות לך לתרשים את המשוואה.
- הערך האמצעי של x צריך להיות ציר הסימטריה במקרה של פרבולה "אנכית".
- עליך לכלול לפחות שני ערכים מעל ומתחת לערך האמצעי עבור x בטבלה לשם הסימטריה.
- בדוגמה זו, הצב את ערך ציר הסימטריה (x = 0) באמצע הטבלה.
שלב 6. חשב את הערכים של קואורדינטות y המתאימות
החלף כל ערך של x במשוואת הפרבולה, וחשב את הערכים המתאימים של y. הכנס את הערכים המחושבים של y לטבלה. בדוגמה זו, הערכים של y מחושבים כדלקמן:
- עבור x = -2, y מחושב כך: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- עבור x = -1, y מחושב כך: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- עבור x = 0, y מחושב כך: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- עבור x = 1, y מחושב כך: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- עבור x = 2, y מחושב כך: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
שלב 7. הכנס את הערכים המחושבים של y לטבלה
כעת, לאחר שמצאת לפחות חמישה זוגות קואורדינטות עבור הפרבולה, אתה כמעט מוכן לשרטט אותה. בהתבסס על עבודתך, כעת יש לך את הנקודות הבאות: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). זכור כי הפרבולה משתקפת (סימטרית) ביחס לציר הסימטריה. המשמעות היא שקואורדינטות y של נקודות ישירות על פני ציר הסימטריה זה מזה יהיו זהות. קואורדינטות y עבור קואורדינטות x ו- +2 הן שניהם 7; קואורדינטות y עבור קואורדינטות x ו- +1 הן שניהם 1 וכן הלאה.
שלב 8. משרטט את נקודות הטבלה במישור הקואורדינטות
כל שורה בטבלה יוצרת זוג קואורדינטות (x, y) במישור הקואורדינטות. גרף את כל הנקודות באמצעות הקואורדינטות המופיעות בטבלה.
- ציר ה- x הוא אופקי; ציר y הוא אנכי.
- המספרים החיוביים בציר y נמצאים מעל הנקודה (0, 0), והמספרים השליליים בציר y נמצאים מתחת לנקודה (0, 0).
- המספרים החיוביים בציר ה- x נמצאים מימין לנקודה (0, 0), והמספרים השליליים בציר ה- x נמצאים משמאל לנקודה (0, 0).
שלב 9. חבר את הנקודות
כדי לשרטט את הפרבולה, חבר את הנקודות המתוארות בשלב הקודם. התרשים בדוגמה זו ייראה כמו U. חבר את הנקודות באמצעות קווים מעוקלים (ולא ישרים). כך תיווצר התמונה המדויקת ביותר של הפרבולה (שהיא מעוקלת מעט לכל אורכה). משני קצות הפרבולה אתה יכול לצייר חיצים המפנים מהקודקוד אם תרצה. זה יצביע על כך שהפרבולה נמשכת ללא הגבלת זמן.
חלק 2 מתוך 2: הסטת הגרף של פרבולה
אם אתה רוצה קיצור דרך להסטת פרבולה מבלי שתצטרך למצוא שוב את הקודקוד שלה ולתכנן עליה מספר נקודות מחדש, יהיה עליך להבין כיצד לקרוא את משוואת הפרבולה וללמוד להזיז אותה אנכית או אופקית. התחל עם הפרבולה הבסיסית: y = x2. לזה יש את הקודקוד שלו ב (0, 0) ונפתח כלפי מעלה. הנקודות עליו כוללות (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) ו- (2, 4). אתה יכול לשנות פרבולה על בסיס המשוואה שלה.
שלב 1. העבר פרבולה כלפי מעלה
שקול את המשוואה y = x2 +1. זה מזיז את הפרבולה המקורית כלפי מעלה 1 יחידה. הקודקוד הוא כעת (0, 1) במקום (0, 0). הוא ישמור על הצורה המדויקת של הפרבולה המקורית, אך כל קואורדינטה y תועבר כלפי מעלה אחת ליחידה. אז, במקום (-1, 1) ו- (1, 1), אנו משרטטים (-1, 2) ו- (1, 2).
שלב 2. העבר פרבולה כלפי מטה
קח את המשוואה y = x2 -1. אנו מעבירים את הפרבולה המקורית כלפי מטה יחידה אחת כלפי מטה, כך שהקודקוד הוא כעת (0, -1) במקום (0, 0). עדיין תהיה לו אותה צורה של הפרבולה המקורית, אך כל קואורדינטת y תועבר כלפי מטה אחת ליחידה. אז, במקום (-1, 1) ו- (1, 1), למשל, אנו משרטטים (-1, 0) ו- (1, 0).
שלב 3. העבר פרבולה שמאלה
שקול את המשוואה y = (x + 1)2. זה מעביר את הפרבולה המקורית יחידה אחת שמאלה. הקודקוד הוא כעת (-1, 0) במקום (0, 0). הוא שומר על צורת הפרבולה המקורית, אך כל קואורדינטות x מועברות ליחידה היחידה השמאלית. במקום (-1, 1) ו- (1, 1), למשל, אנו משרטטים (-2, 1) ו- (0, 1).
שלב 4. העבר פרבולה ימינה
שקול את המשוואה y = (x - 1)2. זוהי הפרבולה המקורית שהועברה יחידה אחת ימינה. הקודקוד הוא כעת (1, 0) במקום (0, 0). הוא שומר על צורת הפרבולה המקורית, אך כל קואורדינטות x יועברו ליחידה האחת הנכונה. במקום (-1, 1) ו- (1, 1), למשל, אנו משרטטים (0, 1) ו- (2, 1).
