כיצד לתכנן משוואה ריבועית: 10 שלבים (עם תמונות)

2024 מְחַבֵּר: Robert Blare | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-02-02 02:06

בעת גרף, משוואות ריבועיות של הטופס גַרזֶן² + bx + c אוֹ א (x - h)² + k לתת עקומה בצורת U או עקומה בצורת U הפוכה הנקראת פרבולה. ציור משוואה ריבועית הוא עניין של מציאת קודקודו, כיוונו ולעתים קרובות יירוט ה- x וה- y שלו. במקרים של משוואות ריבועיות פשוטות יחסית, זה עשוי להספיק גם לחבר טווח של ערכי x ולתוות עקומה המבוססת על הנקודות המתקבלות. עיין בשלב 1 להלן כדי להתחיל.

צעדים

שלב 1. קבע איזו צורה של משוואה ריבועית יש לך

ניתן לכתוב את המשוואה הריבועית בשלוש צורות שונות: הצורה הסטנדרטית, צורת הקודקוד והצורה הריבועית. אתה יכול להשתמש בכל אחת מהצורות לתרשים משוואה ריבועית; תהליך גרף כל אחד שונה במקצת. אם אתה עושה בעיה בשיעורי בית, בדרך כלל תקבל את הבעיה באחת משתי הצורות הבאות - במילים אחרות, לא תוכל לבחור, ולכן עדיף להבין את שתיהן. שתי צורות המשוואה הריבועית הן:

• צורה סטנדרטית.

  בצורה זו, המשוואה הריבועית כתובה כ: f (x) = ax² + bx + c כאשר a, b ו- c הם מספרים אמיתיים ו- a אינו שווה לאפס.

  לדוגמה, שתי משוואות ריבועיות של צורה סטנדרטית הן f (x) = x² + 2x + 1 ו- f (x) = 9x² + 10x -8.

• צורת מערבולת.

  בצורה זו, המשוואה הריבועית כתובה כ: f (x) = a (x - h)² + k כאשר a, h ו- k הם מספרים אמיתיים ו- a אינו שווה לאפס. צורת המערבולת נקראת כך מכיוון ש- h ו- k נותנים לך ישירות את הקודקוד (הנקודה המרכזית) של הפרבולה שלך בנקודה (h, k).

  שתי משוואות צורות קודקוד הן f (x) = 9 (x - 4)² + 18 ו- -3 (x - 5)² + 1

• כדי לשרטט את אחד משוואות הסוגים הללו, עלינו קודם כל למצוא את קודקוד הפרבולה, שהיא הנקודה המרכזית (h, k) ב"קצה "העקומה. הקואורדינטות של הקודקוד בצורה סטנדרטית ניתנות על ידי: h = -b/2a ו- k = f (h), ואילו בצורת הקודקוד, h ו- k מצוינים במשוואה.

שלב 2. הגדר את המשתנים שלך

כדי להיות מסוגל לפתור בעיה ריבועית, בדרך כלל צריך להגדיר את המשתנים a, b ו- c (או a, h ו- k). בעיית אלגברה ממוצעת תעניק לך משוואה ריבועית עם המשתנים הממולאים, בדרך כלל בצורה סטנדרטית, אך לפעמים בצורת קודקוד.

• לדוגמה, עבור משוואת הצורות הסטנדרטיות f (x) = 2x² + 16x + 39, יש לנו a = 2, b = 16 ו- c = 39.
• עבור משוואת צורת הקודקוד f (x) = 4 (x - 5)² + 12, יש לנו a = 4, h = 5 ו- k = 12.

שלב 3. חישוב h

במשוואות צורות קודקוד, הערך שלך ל- h כבר נתון, אך במשוואות צורה סטנדרטיות יש לחשב אותו. זכור כי עבור משוואות צורה סטנדרטיות, h = -b/2a.

• בדוגמה הטופס הסטנדרטי שלנו (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). בפתרון, אנו מוצאים כי h = - 4.
• בדוגמה שלנו בקודקוד (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), אנו יודעים h = 5 מבלי לעשות שום חשבון.

שלב 4. חישוב k

כמו h, k כבר ידוע במשוואות צורות קודקוד. עבור משוואות צורה סטנדרטיות, זכור כי k = f (h). במילים אחרות, אתה יכול למצוא k על ידי החלפת כל מופע של x במשוואה שלך בערך שפשוט מצאת עבור h.

• קבענו בדוגמה הרגילה שלנו כי h = -4. כדי למצוא k, אנו פותרים את המשוואה שלנו עם הערך שלנו עבור החלפת x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    שלב 7.

• בדוגמה שלנו בצורת הקודקוד, שוב, אנו יודעים את הערך של k (שהוא 12) מבלי לעשות שום חשבון.

שלב 5. משרטט את הקודקוד שלך

קודקוד הפרבולה שלך תהיה הנקודה (h, k) - h מציין את קואורדינטת x, בעוד k מציין את קואורדינטת y. הקודקוד הוא הנקודה המרכזית בפרבולה שלך - או החלק התחתון של "U" או החלק העליון של "U" הפוך. הכרת הקודקוד היא חלק חיוני בגרף פרבולה מדויקת - לעתים קרובות, במהלך הלימודים, ציון הקודקוד יהיה חלק נדרש בשאלה.

• בדוגמה הצורה הסטנדרטית שלנו, הקודקוד שלנו יהיה ב (-4, 7). לכן, הפרבולה שלנו תגיע לשיא של 4 רווחים משמאל ל -0 ו -7 רווחים מעל (0, 0). עלינו לשרטט נקודה זו בגרף שלנו, הקפד לתייג קואורדינטות.
• בדוגמה שלנו בצורת הקודקוד, הקודקוד שלנו נמצא ב (5, 12). עלינו לתכנן נקודה 5 רווחים מימין ו -12 רווחים מעל (0, 0).

שלב 6. צייר את ציר הפרבולה (אופציונלי)

ציר הסימטריה של פרבולה הוא הקו העובר באמצע המחלק אותו בצורה מושלמת לשניים. מעבר לציר זה, הצד השמאלי של הפרבולה ישקף את הצד הימני. לריבועים של גרזן הצורה² + bx + c או a (x - h)² + k, הציר הוא קו מקביל לציר y (במילים אחרות, אנכי לחלוטין) ועובר דרך הקודקוד.

במקרה של דוגמת הצורה הסטנדרטית שלנו, הציר הוא קו מקביל לציר y ועובר בנקודה (-4, 7). למרות שזה לא חלק מהפרבולה עצמה, סימון קל של קו זה בתרשים שלך יכול בסופו של דבר לעזור לך לראות כיצד הפרבולה מתעגלת באופן סימטרי

שלב 7. מצא את כיוון הפתיחה

לאחר שהבנו את הקודקוד והציר של הפרבולה, בשלב הבא עלינו לדעת האם הפרבולה נפתחת כלפי מעלה או כלפי מטה. למרבה המזל, זה קל. אם "a" הוא חיובי, הפרבולה תיפתח כלפי מעלה, בעוד שאם "a" תהיה שלילית, הפרבולה תיפתח כלפי מטה (כלומר היא תהפוך הפוך).

• לדוגמא הטופס הסטנדרטי שלנו (f (x) = 2x² + 16x + 39), אנו יודעים שיש לנו פרבולה הנפתחת כלפי מעלה מכיוון שבמשוואה שלנו a = 2 (חיובי).
• לדוגמא שלנו בצורת הקודקוד (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), אנו יודעים שיש לנו גם פרבולה הנפתחת כלפי מעלה כי a = 4 (חיובי).

שלב 8. במידת הצורך, מצא ושרטט x מיירטים

לעתים קרובות, במהלך הלימודים, תתבקש למצוא את יירוט ה- x של פרבולה (שהם נקודה אחת או שתיים שבהן הפרבולה פוגשת את ציר ה- x). גם אם אינך מוצא אותן, שתי הנקודות הללו עשויות להיות לא יסולא בפז עבור ציור פרבולה מדויקת. עם זאת, לא לכל הפרבולות יש יירוט x. אם לפרבולה שלך יש קודקוד נפתח כלפי מעלה ויש לו קודקוד מעל ציר ה- x או אם הוא נפתח כלפי מטה ויש לו קודקוד מתחת לציר x, לא יהיו לו x יירוט. אחרת, פתר עבור יירוט ה- x שלך באחת מהשיטות הבאות:

• כל שעליך לעשות הוא להגדיר f (x) = 0 ולפתור את המשוואה. שיטה זו עשויה לפעול עבור משוואות ריבועיות פשוטות, במיוחד בצורת קודקוד, אך תתגלה כקשה במיוחד עבור אלה מסובכות יותר. ראה להלן דוגמה

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 ו -13 הם יירוט ה- x של הפרבולה.

• פקטור המשוואה שלך. כמה משוואות בגרזן² ניתן לייחס את הטופס + bx + c בצורה פשוטה (dx + e) (fx + g), כאשר dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx ו- e × g = c. במקרה זה, יירוט ה- x שלך הוא הערכים עבור x שהופכים את המונח בסוגריים = 0. לדוגמה:

  • איקס² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • במקרה זה, יירוט x היחיד שלך הוא -1 מכיוון שהגדרת x שווה ל -1 תהפוך את כל אחד מהמונחים המופעלים בסוגריים ל -0.

• השתמש בנוסחה הריבועית. אם אינך יכול לפתור בקלות עבור יירוט ה- x שלך או לשקול את המשוואה שלך, השתמש במשוואה מיוחדת הנקראת הנוסחה הריבועית שנועדה בדיוק למטרה זו. אם זה עדיין לא, הכנס את המשוואה שלך לתוך גרזן הצורה² + bx + c, ואז חבר a, b ו- c לתוך הנוסחה x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac))/2a. שים לב שלרוב זה נותן לך שתי תשובות עבור x, וזה בסדר - זה רק אומר שלפרבולה שלך יש שני x יירוט. ראה להלן דוגמה:

  • -5x² + 1x + 10 מחובר לנוסחה הריבועית כדלקמן:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14.18)/-10
  • x = (13.18/-10) ו- (-15.18/-10). X היירוט של הפרבולה הוא בערך x = - 1.318 ו 1.518
  • דוגמת הטופס הסטנדרטית הקודמת שלנו, 2x² + 16x + 39 מחובר לנוסחה הריבועית כדלקמן:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • מכיוון שמציאת השורש הריבועי של מספר שלילי היא בלתי אפשרית, אנו יודעים זאת ללא x יירוט קיימים עבור הפרבולה הספציפית הזו.

שלב 9. במידת הצורך, מצא ושרטט את יירוט y

למרות שלרוב אין צורך למצוא יירוט y של משוואה (הנקודה שבה הפרבולה עוברת בציר y), בסופו של דבר ייתכן שתידרש לכך, במיוחד אם אתה בבית הספר. תהליך זה פשוט למדי - פשוט הגדר את x = 0, ואז פתר את המשוואה שלך עבור f (x) או y, מה שנותן לך את הערך y שבו הפרבולה שלך עוברת בציר y. שלא כמו x יירוט, פרבולות סטנדרטיות יכולות להיות רק ליירוט y אחת. הערה - עבור משוואות צורה סטנדרטיות, יירוט y הוא ב y = c.

• לדוגמה, אנו מכירים את המשוואה הריבועית שלנו 2x² ל- + 16x + 39 יש יירוט של y ב- y = 39, אך ניתן למצוא אותו גם כדלקמן:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. יירוט y של הפרבולה נמצא ב y = 39.

    כפי שצוין לעיל, יירוט y הוא ב- y = c.

• משוואת צורת הקודקוד שלנו 4 (x - 5)² ל- + 12 יש יירוט y שניתן למצוא כדלקמן:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. יירוט y של הפרבולה נמצא ב y = 112.

שלב 10. במידת הצורך, שרטט נקודות נוספות, ולאחר מכן גרף

כעת אמור להיות לך קודקוד, כיוון, יירוט x, ואולי יירוט y למשוואה שלך. בשלב זה, תוכל לנסות לצייר את הפרבולה שלך באמצעות הנקודות שיש לך כהנחיה, או שתמצא נקודות נוספות כדי "למלא" את הפרבולה שלך כך שהעקומה שאתה מצייר תהיה מדויקת יותר. הדרך הקלה ביותר לעשות זאת היא פשוט לחבר כמה ערכי x משני צדי הקודקוד שלך, ולאחר מכן להתוות נקודות אלה באמצעות ערכי y שאתה משיג. לעתים קרובות, המורים ידרשו ממך להשיג מספר נקודות מסוים לפני שאתה מצייר את הפרבולה שלך.

• נחזור על המשוואה x² + 2x + 1. אנחנו כבר יודעים שהיירוט היחיד שלו הוא x = -1. מכיוון שהוא נוגע בנקודת יירוט x בלבד בנקודה אחת, אנו יכולים להסיק כי קודקודו הוא יירוט x שלו, כלומר קודקודו הוא (-1, 0). למעשה יש לנו רק נקודה אחת לפרבולה הזו - לא מספיק כדי לצייר פרבולה טובה. בואו למצוא עוד כמה כדי להבטיח שאצייר גרף מדויק.

  • בואו למצוא את ערכי y עבור ערכי x הבאים: 0, 1, -2 ו- -3.
  • עבור 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. הנקודה שלנו היא (0, 1).

  • עבור 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. הנקודה שלנו היא (1, 4).

  • עבור -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. הנקודה שלנו היא (-2, 1).

  • עבור -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. הנקודה שלנו היא (-3, 4).

  • צייר את הנקודות האלה בגרף וצייר את העקומה בצורת U שלך. שים לב שהפרבולה היא סימטרית לחלוטין - כאשר הנקודות שלך בצד אחד של הפרבולה מונחות על מספרים שלמים, אתה בדרך כלל יכול לחסוך לעצמך קצת עבודה פשוט על ידי שיקוף נקודה נתונה על פני ציר הסימטריה של הפרבולה כדי למצוא את הנקודה המתאימה בצד השני. של הפרבולה.

וידאו - על ידי שימוש בשירות זה, מידע מסוים עשוי להיות משותף עם YouTube

טיפים

• שים לב שב f (x) = ax² + bx + c, אם b או c שווה לאפס, המספרים האלה נעלמים. לדוגמה, 12x² + 0x + 6 הופך ל 12x² + 6 כי 0x זה 0.
• עגול מספרים או השתמש בשברים כפי שמורה לך האלגברה. זה יעזור לך לשרטט כראוי את המשוואות הריבועיות שלך.