אטם אפולוני הוא סוג של דימוי פרקטלי שנוצר מאוסף של עיגולים שהולכים ומצטמצמים בתוך מעגל גדול אחד. כל עיגול באטם אפולוניה משיק למעגלים הסמוכים - במילים אחרות, המעגלים באטם האפולוני יוצרים קשר בנקודות קטנות לאין שיעור. על שם המתמטיקאי היווני אפולוניוס מפרגה, ניתן לצייר סוג זה של פרקטל (ביד או במחשב) במידה סבירה של מורכבות, ויוצרים תמונה יפהפייה ומדהימה. עיין בשלב 1 להלן כדי להתחיל.
צעדים
חלק 1 מתוך 2: הבנת מושגי מפתח
כדי להיות ברור לחלוטין, אם אתה פשוט מעוניין לצייר אטם אפולוני, אין זה הכרחי לחקור את עקרונות המתמטיקה מאחורי הפרקטל. עם זאת, אם תרצה הבנה מעמיקה יותר של אטמים אפולוניים, חשוב להבין את ההגדרות של מספר מושגים בהם נשתמש כאשר נדון בהם.
שלב 1. הגדר מונחי מפתח
המונחים הבאים משמשים בהוראות להלן:
- אטם אפולוני: אחד מכמה שמות לסוג של פרקטל המורכב מסדרת עיגולים המקוננים בתוך מעגל אחד גדול ומשיקים לכל האחרים בסביבה. אלה נקראים גם "מעגלי Soddy" או "מעגלי נשיקות".
- רדיוס מעגל: המרחק מנקודת מרכז המעגל לקצהו. בדרך כלל מוקצה המשתנה r.
- עקמומיות מעגל: הפוך חיובי או שלילי של הרדיוס, או ± 1/r. עקמומיות חיובית כאשר מתמודדים עם העקמומיות החיצונית של המעגל ושלילית לעקמומיות הפנימית.
- משיק: מונח המיושם על קווים, מטוסים וצורות המצטלבים בנקודה אחת אינסופית. ב אטמים אפולוניים, זה מתייחס לעובדה שכל מעגל נוגע בכל מעגל סמוך בנקודה אחת בלבד. שימו לב שאין צומת - צורות משיקות אינן חופפות.
שלב 2. להבין את משפטו של דקארט
משפטו של דקארט הוא נוסחה שימושית לחישוב גודל המעגלים באטם אפולוני. אם נגדיר את העקמומיות (1/r) של כל שלושת המעגלים כ- a, b ו- c, בהתאמה, המשפט קובע כי עקמומיות המעגל (או העיגולים) משיקה לשלושה, אותם נגדיר כ- d, היא: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
למטרותינו, בדרך כלל נשתמש רק בתשובה המתקבלת על ידי הצבת סימן פלוס מול השורש הריבועי (במילים אחרות, … + 2 (sqrt (…)). לעת עתה, מספיק לדעת שהחיסור צורת המשוואה משתמשת במשימות אחרות הקשורות לה
חלק 2 מתוך 2: בניית האטם האפולוני
אטמים אפולוניים לובשים צורה של סידורי פרקטלים יפים של עיגולים מתכווצים. מבחינה מתמטית, לאטמים של אפולוניה יש מורכבות אינסופית, אך בין אם אתה משתמש בתוכנית ציור מחשב או בכלי ציור מסורתיים, בסופו של דבר תגיע לנקודה שבה אי אפשר לצייר עיגולים קטנים יותר. שים לב שככל שאתה מצייר את העיגולים שלך בצורה מדויקת יותר, כך תוכל להתאים לאטם שלך.
שלב 1. אסוף את כלי הציור הדיגיטליים או האנלוגיים שלך
בשלבים שלהלן, נכין אטם אפולוני פשוט ופשוט משלנו. אפשר לצייר אטמים אפולוניים ביד או במחשב. בכל מקרה, תרצה להיות מסוגל לצייר עיגולים עגולים לחלוטין. זה די חשוב. מכיוון שכל עיגול באטם אפולוני משיק לחלוטין את המעגלים שלצידו, עיגולים שהם אפילו מעט מעוותים יכולים "לזרוק" את המוצר הסופי שלך.
- אם אתה מצייר את האטם במחשב, תזדקק לתוכנית שתאפשר לך לצייר מעגלים ברדיוס קבוע בנקודה מרכזית בקלות. ניתן להשתמש ב- Gfig, הרחבה של ציור וקטורי לתוכנית עריכת התמונות החינמית GIMP, כמו גם מגוון רחב של תוכניות ציור אחרות (עיין בסעיף החומרים לקישורים רלוונטיים). סביר להניח שתצטרך גם יישום מחשבון או מסמך מעבד תמלילים או פנקס פיזי לרישום הערות על עקמומיות ורדיוסים.
- כדי לצייר את האטם ביד, תזדקק למחשבון (הצעה מדעית או גרפית), עיפרון, מצפן, סרגל (רצוי סולם עם סימונים מילימטריים, נייר גרף ופנקס לרישום הערות.
שלב 2. התחל עם עיגול אחד גדול
המשימה הראשונה שלך קלה - פשוט צייר עיגול אחד גדול ועגול לחלוטין. ככל שהעיגול גדול יותר, כך האטם שלכם יכול להיות מורכב יותר, לכן נסו ליצור עיגול גדול ככל שהנייר מאפשר או גדול ככל שניתן לראות בחלון אחד בתוכנית הציור שלכם.
שלב 3. צור עיגול קטן יותר בתוך המקור, משיק לצד אחד
לאחר מכן, צייר עיגול נוסף בתוך הראשון שהוא קטן מהמקור, אך עדיין גדול למדי. הגודל המדויק של העיגול השני תלוי בך - אין גודל נכון. עם זאת, למטרותינו, בואו לצייר את המעגל השני שלנו כך שהוא יגיע בדיוק באמצע באמצע המעגל החיצוני הגדול שלנו. במילים אחרות, בואו נצייר את המעגל השני שלנו כך שנקודה המרכזית שלו תהיה נקודת האמצע של רדיוס המעגל הגדול.
זכור כי באטמים של אפולוניה, כל המעגלים הנוגעים במגע משיקים זה לזה. אם אתה משתמש במצפן כדי לצייר את העיגולים שלך ביד, צור מחדש את האפקט הזה על ידי הצבת הנקודה החדה של המצפן בנקודת האמצע של רדיוס המעגל החיצוני הגדול, התאם את העיפרון שלך כך שהוא יגע רק בקצה המעגל הגדול, ואז צייר את המעגל הפנימי הקטן יותר שלך
שלב 4. צייר עיגול זהה "מול" העיגול הפנימי הקטן יותר
לאחר מכן, נצייר עיגול נוסף מול הראשון שלנו. מעגל זה צריך להיות משיק הן למעגל החיצוני הגדול והן למעגל הפנימי הקטן יותר, כלומר שני המעגלים הפנימיים שלך ייגעו בנקודת האמצע המדויקת של המעגל החיצוני הגדול.
שלב 5. החל את משפט דקארט כדי למצוא את גודל המעגלים הבאים שלך
בואו נפסיק לצייר לרגע. כעת, כשיש לנו שלושה עיגולים באטם שלנו, נוכל להשתמש במשפטו של דקארט כדי למצוא את הרדיוס של המעגל הבא שנצייר. זכור כי משפט דקארט הוא d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), כאשר a, b ו- c הם העקמומיות של שלושת עיגולי המשיק שלך ו- d היא עקמומיות המעגל המשיק לשלושתם. אז, כדי למצוא את הרדיוס של המעגל הבא שלנו, בואו למצוא את העקמומיות של כל אחד מהעיגולים שיש לנו עד כה כדי שנוכל למצוא את העקמומיות של המעגל הבא, ואז להמיר את זה לרדיוס שלו.
-
בואו נגדיר את רדיוס המעגל החיצוני שלנו כ
שלב 1.. מכיוון שהמעגלים האחרים נמצאים בתוך המעגל הזה, אנו מתמודדים עם העקמומיות הפנימית שלו (ולא העקמומיות החיצונית), וכתוצאה מכך אנו יודעים שהעקמומיות שלו שלילית. -1/r = -1/1 = -1. העקמומיות של המעגל הגדול היא - 1.
-
רדיוס העיגולים הקטנים יותר גדול ממחצית המעגל הגדול, או במילים אחרות 1/2. מכיוון שהעיגולים האלה נוגעים זה בזה ובמעגל הגדול עם הקצה החיצוני שלהם, אנו מתמודדים עם העקמומיות החיצונית שלהם, כך שהעקמומיות שלהם חיוביות. 1/(1/2) = 2. עקמומי העיגולים הקטנים הם שניהם
שלב 2..
-
כעת אנו יודעים כי a = -1, b = 2 ו- c = 2 למשוואת משפט דקארט שלנו. בואו נפתור עבור d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. עקמומיות המעגל הבא שלנו היא
שלב 3.. מכיוון ש -3 = 1/r, הרדיוס של המעגל הבא שלנו הוא 1/3.
שלב 6. צור את קבוצת המעגלים הבאה שלך
השתמש בערך הרדיוס שמצאת זה עתה כדי לצייר את שני העיגולים הבאים שלך. זכור כי אלה ישיקו למעגלים שבעקמומיותיהם השתמשת עבור a, b ו- c במשפטו של דקארט. במילים אחרות, הם ישיקו הן למעגל המקורי והן לשני המעגלים. כדי שהעיגולים האלה יהיו משיקים לכל שלושת המעגלים, יהיה עליך לצייר אותם בחללים הפתוחים בחלק העליון והתחתון של האזור בתוך העיגול המקורי הגדול שלך.
זכור שרדיוס העיגולים הללו יהיו שווים ל- 1/3. מדוד 1/3 אחורה מקצה המעגל החיצוני, ולאחר מכן צייר את העיגול החדש שלך. זה צריך להיות משיק לשלושת המעגלים שמסביב
שלב 7. המשך כך להוספת עיגולים
מכיוון שהם פרקטלים, אטמי אפולוניה הם מורכבים לאין שיעור. המשמעות היא שאתה יכול להוסיף עיגולים קטנים יותר ויותר לתוכן הלב שלך. אתה מוגבל רק עם הדיוק של הכלים שלך (או, אם אתה משתמש במחשב, היכולת של תוכנית הציור שלך "להתקרב"). כל עיגול, קטן ככל שיהיה, צריך להיות משיק לשלושה עיגולים אחרים. כדי לצייר כל עיגול עוקב אחר באטם שלך, חבר את העקמומיות של שלושת העיגולים שהוא ישיק למשפט של דקארט. לאחר מכן, השתמש בתשובתך (שתהיה הרדיוס של המעגל החדש שלך) כדי לצייר את המעגל החדש שלך במדויק.
- שים לב שהאטם שבחרנו לצייר הוא סימטרי, כך שהרדיוס של עיגול אחד זהה למעגל המתאים "ממנה". עם זאת, דע שלא כל אטם אפולוני הוא סימטרי.
-
בואו נדבר על דוגמא נוספת. נניח שאחרי שציירנו את קבוצת המעגלים האחרונה, אנו רוצים כעת לצייר את העיגולים המשיקים למערכה השלישית שלנו, לקבוצה השנייה שלנו ולמעגל החיצוני הגדול שלנו. הקימורים של מעגלים אלה הם 3, 2 ו -1 בהתאמה. בואו נחבר את המספרים האלה למשפט של דקארט, נקבע a = -1, b = 2 ו- c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. יש לנו שתי תשובות! עם זאת, מכיוון שאנו יודעים שהמעגל החדש שלנו יהיה קטן יותר מכל המעגלים שהוא משיק אליהם, רק עקמומיות של
שלב 6. (ולכן רדיוס של 1/6) הגיוני.
- התשובה האחרת שלנו, 2, מתייחסת למעשה למעגל ההיפותטי בצד השני של הנקודה המשיקה של המעגל השני והשלישי שלנו. המעגל הזה הוא משיק לשני המעגלים הללו ולמעגל החיצוני הגדול, אך הוא יחתוך את המעגלים שכבר ציירנו, כך שנוכל להתעלם ממנו.
שלב 8. לאתגר, נסה לעשות אטם אפולוני לא סימטרי על ידי שינוי גודל המעגל השני שלך
כל האטמים האפולוניים מתחילים אותו דבר - עם עיגול חיצוני גדול הפועל כקצה הפרקטל. עם זאת, אין סיבה שהמעגל השני שלך חייב להיות בעל רדיוס הראשון של 1/2 - פשוט בחרנו לעשות זאת למעלה מכיוון שהוא פשוט וקל להבנה. בשביל הכיף, נסה להפעיל אטם חדש עם מעגל שני בגודל אחר - זה יוביל לאפיקים חדשים ומרתקים של חקר.
